银行的第二张银行卡是可以征收年费的，但是本行开立的唯一账户是免收年费的。

根据《关于取消和暂停商业银行部分基础金融服务收费的通知》第三条 各商业银行应继续按照现行政策规定，根据客户申请，对其指定的一个本行账户（不含信用卡、贵宾账户）免收年费和账户管理费（含小额账户管理费，下同）。

各商业银行应通过其网站、手机APP、营业网点公示栏等渠道，以及在为客户办理业务时，主动告知提示客户申请指定免费账户。客户未申请的，商业银行应主动对其在本行开立的唯一账户（不含信用卡、贵宾账户）免收年费和账户管理费。

扩展资料：

《银行卡管理办法》第二十五条 跨行交易执行下列分润比率：

（一）未建信息交换中心的城市，从商户所得结算手续费，按发卡行90%，收单行10%的比例进行分配；

商业银行也可以通过协商，实行机具分摊、相互代理、互不收费的方式进行跨行交易。

（二）已建信息交换中心的城市，从商户所得结算手续费，按按发卡行80%，收单行10%，信息交换中心10%的比例进行分配。

第二十六条 持卡人在ATM 机跨行取款得费用由其本人承担，并执行如下收费标准：

（一）持卡人在其领卡城市之内取款，每笔收费不得超过2元人民币；

（二）持卡人在其领卡城市以外取款，每笔收费不得低于8元人民币；

从ATM机跨行取款所得的手续费，按机具所有行70%，信息交换中心30%的比例进行分配。

参考资料来源：国家发改委——关于取消和暂停 商业银行部分基础金融服务收费